Ciężka kulka
Ile ważeń wystarczy, aby ją znaleźć?
Zadanie
Masz 6561 jednakowo wyglądających kulek. Jedna z nich jest cięższa od pozostałych. Możesz korzystać z wagi szalkowej, która pokazuje, która strona jest cięższa albo czy obie strony ważą tyle samo. Jaka jest najmniejsza liczba ważeń, która zawsze pozwoli wskazać cięższą kulkę?
Minimalnie potrzeba 8 ważeń.
Liczba 6561 jest równa 38. W pierwszym ważeniu dzielimy wszystkie kulki na trzy grupy po 2187 sztuk i kładziemy dwie grupy na wadze. Gdy są równe, cięższa kulka jest w trzeciej grupie. Gdy jedna strona opada, szukamy dalej w cięższej grupie.
Po każdym ważeniu liczba możliwych kulek zmniejsza się trzy razy. Powtarzając ten sam podział osiem razy, dochodzimy do jednej kulki. To gwarantuje odnalezienie cięższej kulki.
Kod figur
Odkryj wartości figur i oblicz końcowy wynik.
Zadanie
Każda figura oznacza pewną liczbę. Ta sama figura zawsze ma tę samą wartość. Na podstawie równań oblicz wynik wyrażenia:
+ + = 19
+ = 16
− = 3
+ = 9
Jaki wynik otrzymasz dla wyrażenia (koło + kwadrat) × trójkąt − pięciokąt?
Wynik to 58.
Oznaczmy trójkąt literą T, kwadrat literą K, pięciokąt literą P, a koło literą O. Z pierwszego równania mamy 2T + K = 19, więc K = 19 − 2T. Z drugiego równania wynika P = 16 − K, czyli po podstawieniu P = 2T − 3. Trzecie równanie daje O = P − 3, a zatem O = 2T − 6.
Podstawiamy tę wartość koła do ostatniego równania: (2T − 6) + T = 9. Stąd 3T = 15, więc trójkąt ma wartość 5. Pozostałe wartości to: koło 4, pięciokąt 7 i kwadrat 9.
Liczymy wyrażenie: (4 + 9) × 5 − 7 = 13 × 5 − 7 = 65 − 7 = 58.
Zaginiony piksel
Znajdź jedno pole, które zmieniło kolor.
Zadanie
Na ekranie znajduje się obraz złożony z czarnych i jasnych pikseli. W prawidłowym obrazie w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest parzysta liczba czarnych pikseli. Podczas przesyłania danych kolor dokładnie jednego piksela został zmieniony.
Wskaż numer wiersza i numer kolumny uszkodzonego piksela.
Uszkodzony został piksel w wierszu 4 i kolumnie 5.
Wiersz 4 zawiera 3 czarne piksele, czyli nieparzystą liczbę. Wszystkie pozostałe wiersze mają ich parzystą liczbę. Z kolei w kolumnie 5 znajduje się 5 czarnych pikseli, a pozostałe kolumny także mają ich parzystą liczbę.
Jedyny piksel leżący jednocześnie w błędnym wierszu i błędnej kolumnie to pole 4, 5. Jego kolor musiał zostać zmieniony podczas przesyłania danych.
Kod do sejfu
Trzy próby i trzy logiczne wskazówki.
Zadanie
Sejf otwiera trzycyfrowy kod. Każda cyfra jest inna i należy do zbioru od 1 do 6. Złodziej wykonał trzy próby, a panel podał mu takie wskazówki:
- 123 — jedna cyfra jest w kodzie i stoi na właściwym miejscu. Pozostałych cyfr nie ma w kodzie.
- 145 — jedna cyfra jest w kodzie, ale stoi na niewłaściwym miejscu. Pozostałych cyfr nie ma w kodzie.
- 456 — dwie cyfry są w kodzie i obie stoją na właściwych miejscach. Trzeciej cyfry nie ma w kodzie.
Jaki kod otwiera sejf?
Kod do sejfu to 426.
Spójrzmy najpierw na próbę 145. Dokładnie jedna z tych cyfr należy do kodu. To znaczy, że nie mogą jednocześnie występować w nim 4 i 5.
Załóżmy, że w kodzie nie ma cyfry 4. Wskazówka 456 oznacza wtedy, że w kodzie muszą być 5 i 6, odpowiednio na drugim i trzecim miejscu. Próba 123 wskazuje wówczas, że pierwszą cyfrą musi być 1. Kod miałby postać 156, ale wtedy próba 145 zawierałaby dwie cyfry z kodu: 1 i 5. To sprzeczność, więc 4 musi należeć do kodu.
Skoro 4 jest w kodzie, z próby 145 wiemy, że 1 i 5 w nim nie ma. Aby próba 456 miała dwie cyfry na właściwych miejscach, kod zaczyna się od 4 i kończy na 6. Próba 123 mówi, że jedna z cyfr 1, 2, 3 jest na właściwym miejscu. 1 odpada, a na trzecim miejscu jest 6, więc cyfrą na właściwej pozycji musi być 2 na środku. Otrzymujemy kod 426.
Przeprawa przez rzekę
Przewieź wszystkich, pilnując zasad bezpieczeństwa.
Odmierzanie wody
Odmierz dokładną ilość bez podziałki.
Zadanie
W szkolnym laboratorium trzeba przygotować dokładnie 6 litrów wody. Do dyspozycji są trzy naczynia o pojemności 11, 7 i 4 litrów. Na początku największe naczynie jest pełne, a dwa pozostałe są puste.
Nie ma podziałek ani dodatkowego źródła wody. Można przelewać wodę między naczyniami, ale za każdym razem trzeba lać do chwili, gdy naczynie, z którego przelewasz, będzie puste albo naczynie docelowe będzie pełne. Nie wolno rozlewać wody.
Jak najmniejszą liczbą przelań uzyskasz dokładnie 6 litrów w naczyniu o pojemności 7 litrów?
Wystarczy 6 przelań.
W tabeli podajemy ilość wody kolejno w naczyniu 11 l, 7 l i 4 l. Zaczynamy od stanu (11, 0, 0). Przy każdym ruchu przelewamy wodę aż do opróżnienia naczynia źródłowego albo napełnienia docelowego.
| Ruch | Przelewanie | Stan naczyń: 11 l, 7 l, 4 l |
|---|---|---|
| Start | — | (11, 0, 0) |
| 1 | 11 l → 7 l | (4, 7, 0) |
| 2 | 7 l → 4 l | (4, 3, 4) |
| 3 | 4 l → 11 l | (8, 3, 0) |
| 4 | 7 l → 4 l | (8, 0, 3) |
| 5 | 11 l → 7 l | (1, 7, 3) |
| 6 | 7 l → 4 l | (1, 6, 4) |
Po szóstym przelaniu w naczyniu 7 l zostaje dokładnie 6 litrów. Sprawdzenie wszystkich stanów osiągalnych po pięciu lub mniejszej liczbie przelań pokazuje, że wcześniej nie da się uzyskać takiej ilości w tym naczyniu.
Kolejność wystąpień
Ustal, kto pojawi się na scenie jako pierwszy.
Zadanie
Na szkolnym festiwalu cztery osoby prezentują swoje projekty. Każda występuje tylko raz. Znamy trzy informacje:
- Celina występuje bezpośrednio przed Bartkiem.
- Dawid występuje wcześniej niż Ada.
- Ada nie występuje jako ostatnia.
Ustal kolejność wszystkich wystąpień od pierwszego do czwartego.
Dawid, Ada, Celina, Bartek.
Celina i Bartek muszą wystąpić obok siebie, w tej kolejności. Sprawdźmy, gdzie może znaleźć się ta para.
Jeśli zajmie miejsca pierwsze i drugie, Dawid oraz Ada zostaną na miejscach trzecim i czwartym. Ponieważ Dawid ma wystąpić przed Adą, Ada byłaby ostatnia, a to łamie trzecią wskazówkę. Jeśli para zajmie miejsca drugie i trzecie, Dawid i Ada muszą zająć miejsca pierwsze i czwarte. Znów Ada byłaby ostatnia.
Para Celina–Bartek musi więc zająć miejsca trzecie i czwarte. Na dwóch pierwszych miejscach zostają Dawid i Ada. Dawid występuje przed Adą, więc kolejność jest jednoznaczna: Dawid, Ada, Celina, Bartek.
Pięć kopert
Sprawdź wskazówki i znajdź ukrytą nagrodę.
Zadanie
Jedna z pięciu kopert, oznaczonych literami od A do E, zawiera nagrodę. Na każdej kopercie zapisano wskazówkę. Wskazówka jest prawdziwa, jeśli nagroda znajduje się w jednej z wymienionych kopert.
- Koperta A: nagroda jest w kopercie A lub B.
- Koperta B: nagroda jest w kopercie A lub C.
- Koperta C: nagroda jest w kopercie A lub D.
- Koperta D: nagroda jest w kopercie B lub C.
- Koperta E: nagroda jest w kopercie B lub E.
Wiadomo, że dokładnie dwie wskazówki są prawdziwe. W której kopercie znajduje się nagroda?
Nagroda znajduje się w kopercie C.
Sprawdźmy kolejno każdą możliwą kopertę. Jeśli nagroda jest w A, prawdziwe są wskazówki z kopert A, B i C — czyli trzy. Jeśli jest w B, prawdziwe są wskazówki A, D i E — również trzy.
Gdy nagroda znajduje się w C, prawdziwe są wskazówki B i D — dokładnie dwie. Dla koperty D prawdziwa jest tylko wskazówka C, a dla koperty E tylko wskazówka E. Jedynie koperta C spełnia warunek zadania.
Trzy włączniki
Jeden z nich zapala żarówkę w zamkniętym pokoju.
Ile trójkątów?
Policz wszystkie, także te złożone z mniejszych.
Zadanie
Przyjrzyj się rysunkowi. Ile różnych trójkątów można w nim znaleźć? Liczą się zarówno małe, jak i większe trójkąty złożone z kilku części. Każdy bok szukanego trójkąta musi w całości pokrywać się z narysowanymi liniami.
Podaj jedną liczbę: ile trójkątów jest na rysunku?
Na rysunku jest 27 trójkątów.
Najłatwiej liczyć trójkąty według długości boku, zaczynając od najmniejszych. Trójkątów o boku równym jednemu odcinkowi siatki jest 16. Większych, których bok ma długość dwóch odcinków, jest 7.
Trójkątów o boku długości trzech odcinków są 3, a największy trójkąt, obejmujący cały rysunek, jest 1.
Dodajemy wyniki: 16 + 7 + 3 + 1 = 27. Warto pilnować, by nie pominąć trójkątów odwróconych ani tych, których boki składają się z kilku krótszych odcinków.
Ile waży cegła?
Ustal jej masę na podstawie wskazania wagi.
Zadanie
Waga jest w równowadze. Na lewej szalce leży cała cegła. Na prawej znajduje się odważnik o masie 1 kg oraz połowa cegły.
Ile waży cała cegła?
Cegła waży 2 kg.
Oznaczmy masę całej cegły jako x. Z rysunku wynika równanie: x = 1 + x/2. Po lewej stronie jest cała cegła, a po prawej odważnik 1 kg i połowa masy cegły.
Odejmujemy x/2 od obu stron: x − x/2 = 1, czyli x/2 = 1. Mnożymy obie strony przez 2 i otrzymujemy x = 2.
Sprawdzenie: połowa cegły ważącej 2 kg to 1 kg. Na prawej szalce mamy więc 1 kg + 1 kg = 2 kg, tyle samo co na lewej.
Osiem osiem
Czy z ośmiu cyfr da się otrzymać 1000?
Zadanie
Masz dokładnie osiem cyfr 8:
Używając tylko dodawania, jak otrzymać 1000, mając do dyspozycji tylko osiem cyfr 8? Nie wolno używać żadnego innego operatora matematycznego (takiego jak mnożenie czy nawiasy).
888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000
Łączymy pierwsze trzy ósemki w liczbę 888, a kolejne dwie w 88. Zostają jeszcze trzy pojedyncze ósemki. Wykorzystujemy więc cyfry w grupach po 3, 2, 1, 1 i 1, czyli łącznie wszystkie osiem.
Dodawanie daje 888 + 88 = 976, a trzy pozostałe ósemki dają 24. Razem 976 + 24 = 1000.
Czy kwadrat jest magiczny?
Odkryj ukrytą regułę odczytywania liczb.
Zadanie
Na pierwszy rzut oka zwykłe sumy liczb nie tworzą kwadratu magicznego. A jednak można odczytać te liczby w inny sposób tak, aby wyniki w każdym wierszu, każdej kolumnie i obu przekątnych były jednakowe.
Jaka jest ukryta zasada i jaka suma pojawia się w każdej z tych linii?
Zapisz każdą liczbę słownie i policz litery, pomijając spacje. Wtedy suma w każdym wierszu, każdej kolumnie i obu przekątnych wynosi 21.
Nie dodajemy zapisanych cyfr. Zamieniamy każdą liczbę na jej polską nazwę i liczymy litery, nie wliczając spacji. Na przykład „sto pięć” ma 7 liter.
Przykłady: 8 to „osiem” (5 liter), 105 to „sto pięć” (7 liter), a 12 to „dwanaście” (9 liter). Po zsumowaniu długości nazw liczby w każdym wierszu, każdej kolumnie oraz obu przekątnych dają 21.
Które pudło?
Jedno losowanie wystarczy, by poprawić etykiety.
Zadanie
Stoją przed Tobą trzy zamknięte pudła. W jednym są wyłącznie czerwone kulki, w drugim wyłącznie niebieskie, a w trzecim znajdują się kulki obu kolorów. Każde pudło ma etykietę, ale żadna etykieta nie opisuje prawidłowo zawartości.
Nie możesz zajrzeć do środka. Wolno Ci wyjąć jedną kulkę z jednego pudła i sprawdzić jej kolor. Z którego pudła ją wyciągniesz, aby potem ustalić zawartość wszystkich trzech?
Wyciągnij kulkę z pudła oznaczonego „MIESZANE”.
Etykieta „MIESZANE” jest błędna, więc to pudło na pewno nie zawiera obu kolorów. Musi zawierać same czerwone albo same niebieskie kulki. Wylosowana kulka od razu wskaże, który to rodzaj.
Jeśli wyciągniesz czerwoną, pudło z etykietą „MIESZANE” zawiera tylko czerwone kulki. Pudło opisane „TYLKO NIEBIESKIE” nie może zawierać samych niebieskich, a czerwone są już ustalone, więc musi być mieszane. Ostatnie pudło zawiera same niebieskie.
Jeśli wylosujesz niebieską, rozumowanie jest lustrzane: pudło „MIESZANE” zawiera tylko niebieskie, pudło „TYLKO CZERWONE” jest mieszane, a pozostałe zawiera same czerwone. W obu przypadkach jedno losowanie wystarcza.
Czas na sznurek
Odmierz dokładnie 52 minuty i 30 sekund.
Zadanie
Masz trzy sznurki. Każdy spala się całkowicie w dokładnie 60 minut, ale płonie nierównomiernie: połowa długości sznurka nie musi spalać się przez pół godziny. Nie masz zegarka ani podziałki. Możesz podpalać jeden lub oba końce sznurka, a także zapalać drugi koniec w trakcie spalania.
Jak, korzystając z tych sznurków, odmierzysz dokładnie 52 minuty i 30 sekund?
Podpal sznurek A z obu końców, a sznurki B i C po jednym końcu. Gdy A się dopali, podpal drugi koniec B. Gdy B się dopali, podpal drugi koniec C. Koniec C wyznaczy 52 minuty i 30 sekund.
Wszystkie działania zaczynają się w tej samej chwili:
- Start: sznurek A podpal z obu końców. Sznurki B i C podpal po jednym końcu.
- Po 30 minutach: A dopali się, bo ogień biegnie z dwóch stron. Wtedy podpal drugi koniec sznurka B. B ma jeszcze 30 minut spalania, więc płonąc z obu końców, dopali się po 15 minutach.
- Po kolejnych 15 minutach: B dopali się, a sznurek C, który od początku płonął z jednej strony, będzie miał jeszcze 15 minut spalania. Podpal wtedy jego drugi koniec.
- Po kolejnych 7 minutach i 30 sekundach: C dopali się, ponieważ pozostała część sznurka płonie teraz z obu stron.
Łączny czas to 30 + 15 + 7,5 = 52,5 minuty, czyli dokładnie 52 minuty i 30 sekund. Nierównomierne spalanie nie przeszkadza: zapalenie obu końców skraca pozostały czas spalania o połowę.
Dwie równe kupki
Podziel monety, nie sprawdzając, jak leżą.
Osiem hetmanów
Ustaw figury tak, by żadna nie atakowała drugiej.
Zadanie
Umieść na szachownicy dokładnie osiem hetmanów. Hetman atakuje pola w tym samym wierszu, kolumnie oraz na obu przekątnych. Żadne dwa hetmany nie mogą więc stać w jednej linii.
Znajdź choć jedno poprawne ustawienie. Współrzędne liczymy od góry: wiersz 1 jest najwyżej, a kolumny A–H biegną od lewej do prawej.
Hetmany: 0 / 8
Kliknij pola, aby ustawić hetmany.
Dodatkowe pytanie: ile jest wszystkich poprawnych ustawień? A ile zostaje, gdy układy będące obrotem lub odbiciem uznamy za takie same?
Istnieje 92 poprawnych ustawień. Po uznaniu obrotów i odbić za ten sam układ zostaje 12 różnych rozwiązań. Jedno z nich to: A1, E2, H3, F4, C5, G6, B7 i D8.
W podanym przykładzie w każdym wierszu i każdej kolumnie znajduje się dokładnie jeden hetman. Współrzędne, licząc wiersze od góry, to: A1, E2, H3, F4, C5, G6, B7, D8.
Sprawdzamy jeszcze przekątne. Dwa hetmany atakują się po przekątnej wtedy, gdy różnica numerów ich wierszy jest równa różnicy numerów ich kolumn. W tym ustawieniu taka para nie występuje, więc wszystkie figury są bezpieczne.
Łącznie można znaleźć 92 poprawne ustawienia. Część z nich to te same układy obrócone lub odbite, dlatego po połączeniu takich wariantów pozostaje 12 zasadniczo różnych rozwiązań.
Zamienione cyfry
Dwie wskazówki prowadzą do jednej liczby.
Ostatni w kółku
Stały rytm odliczania wyznacza kolejność odpadania.
Połącz dziewięć kropek
Czy przejdziesz przez wszystkie bez odrywania długopisu?
Informacja techniczna
Jeżeli któraś z aplikacji nie działa poprawnie, proszę o kontakt:
grzesiek@gmrogalski.pl